Для начала, дадим определение понятиям, которые будут использоваться в данном разделе. В первую очередь это первообразная функции. Для этого введем константу C .
Определение 1
Первообразная функции f (x) на промежутке (a ; b) это такая функция F (x) , при которое формула F " (x) = f (x) превращается в равенство для любого x из заданного промежутка.
Следует учитывать тот факт, что производная от константы C будет равна нулю, что позволяет нам считать верным следующее равенство F (x) + C " = f (x) .
Получается, что функция f (x) имеет множество первообразных F (x) + C , для произвольной константы C . Эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.
Определение неопределенного интеграла
Все множество первообразных функции f (x) можно назвать неопределенным интегралом этой функции. С учетом этого формула будет иметь вид ∫ f (x) d x = F (x) + C . При этом, выражение f (x) d x является подынтегральным выражением, а f (x) – это подынтегральная функция. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f (x) .
Имея заданный дифференциал функции, мы можем найти неизвестную функцию.
Результатом неопределенного интегрирования будет не одна функция F (x) , а множество ее первообразных F (x) + C .
- Зная свойства производной, мы можем сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).
∫ f (x) d x " = F (x) + C " = f (x)
- Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.
∫ d (F (x)) = ∫ F " (x) d x = ∫ f (x) d x = F (x) + C
- Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.
∫ k · f (x) d x = k · ∫ f (x) d x , где k – произвольная константа. Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.
- Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.
∫ f (x) ± g (x)) d x = ∫ f (x) d x ± ∫ g (x) d x
Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла мы привели в качестве пояснения.
Для того, чтобы доказать третье и четвертое свойства, необходимо найти производные от правых частей равенств:
k · ∫ f (x) d x " = k · ∫ d (x) d x " = k · f (x) ∫ f (x) d x ± ∫ g (x) d x " = ∫ f (x) d x " ± ∫ g (x) d x " = f (x) ± g (x)
Производные правых частей равенств равны подынтегральным функциям, что является доказательством первого свойства. Его же мы используем в последних переходах.
Как видите, задача интегрирования представляет собой обратный процесс по отношению к задаче дифференцирования. Обе эти задачи тесно связаны между собой.
Первое свойство может быть использовано для проведения проверки интегрирования. Для проверки нам достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная функция будет равна подынтегральной функции, то интегрирование проведено верно.
Благодаря второму свойству по известному дифференциалу функции мы можем найти ее первообразную и использовать ее для вычисления неопределенного интеграла.
Рассмотрим пример.
Пример 1
Найдем первообразную функции f (x) = 1 x , значение которой равно единице при х = 1 .
Решение
Используя таблицу производных основных элементарных функций получаем
d (ln x) = (ln x) " d x = d x x = f (x) d x ∫ f (x) d x = ∫ d x x = ∫ d (ln (x))
Используя второе свойство ∫ d (ln (x)) = ln (x) + C , мы получаем множество первообразных ln (x) + C . При х = 1 получим значение ln (1) + C = 0 + C = C . Согласно условию задачи, это значение должно быть равно единице, следовательно, С = 1 . Искомая первообразная примет вид ln (x) + 1 .
Ответ: f (x) = 1 x = ln (x) + 1
Пример 2
Необходимо найти неопределенный интеграл ∫ 2 sin x 2 cos x 2 d x и проверить результат вычисления дифференцированием.
Решение
Используем для проведения вычислений формулу синуса двойного угла из курса тригонометрии 2 sin x 2 cos x 2 = sin x , получим ∫ 2 sin x 2 cos x 2 d x = ∫ sin x d x .
Используем таблицу производных для тригонометрических функций, получим:
d (cos x) = cos x " d x = - sin x d x ⇒ sin x d x = - d (cos x)
То есть, ∫ sin x d x = ∫ (- d (cos x))
Используя третье свойство неопределенного интеграла, мы можем записать ∫ - d (cos x) = - ∫ d (cos x) .
По второму свойству получаем - ∫ d (cos x) = - (cos x + C)
Следовательно, ∫ 2 sin x 2 cos x 2 d x = - cos x - C .
Проверим полученный результат дифференцированием.
Продифференцируем полученное выражение:
- cos x - C " = - (cos x) " - (C) " = - (- sin x) = sin x = 2 sin x 2 cos x 2
В результате проверки мы получили подынтегральную функцию. Это значит, что интегрирование было проведено нами верно. Для осуществления последнего перехода мы использовали формулу синуса двойного угла.
Ответ: ∫ 2 sin x 2 cos x 2 d x = - cos x - C
Если таблицу производных основных элементарных функций переписать в виде дифференциалов, то из нее по второму свойству неопределенного интеграла можно составить таблицу первообразных.
Подробнее эту тему мы рассмотрим в следующем разделе «Таблица первообразных (таблица неопределенных интегралов)».
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Определение первообразной функции
- Функцию у= F (x) называют первообразной для функции у=f (x) на заданном промежутке Х, если для всех х ∈ Х выполняется равенство: F′(x) = f (x)
Можно прочесть двумя способами:
- f производная функции F
- F первообразная для функции f
Свойство первообразных
- Если F(x) - первообразная для функции f(x) на заданном промежутке, то функция f(x) имеет бесконечно много первообразных, и все эти первообразные можно записать в виде F(x) + С , где С - произвольная постоянная.
Геометрическая интерпретация
- Графики всех первообразных данной функции f (x) получаются из графика какой-либо одной первообразной параллельными переносами вдоль оси Оу .
Правила вычисления первообразных
- Первообразная суммы равна сумме первообразных . Если F(x) - первообразная для f(x) , а G(x) - первообразная для g(x) , то F(x) + G(x) - первообразная для f(x) + g(x) .
- Постоянный множитель можно выносить за знак производной . Если F(x) - первообразная для f(x) , и k - постоянная, то k·F(x) - первообразная для k·f(x) .
- Если F(x) - первообразная для f(x) , и k, b - постоянные, причём k ≠ 0 , то 1/k · F(kx + b) - первообразная для f(kx + b) .
Запомни!
Любая функция F(x) = х 2 + С , где С - произвольная постоянная, и только такая функция, является первообразной для функции f(x) = 2х .
- Например:
F"(x) = (х 2 + 1)" = 2x = f(x);
f(x) = 2х, т.к. F"(x) = (х 2 – 1)" = 2x = f(x);
f(x) = 2х, т.к. F"(x) = (х 2 –3)" = 2x = f(x);
Связь между графиками функции и ее первообразной:
- Если график функции f(x)>0 на промежутке, то график ее первообразной F(x) возрастает на этом промежутке.
- Если график функции f(x) на промежутке, то график ее первообразной F(x) убывает на этом промежутке.
- Если f(x)=0 , то график ее первообразной F(x) в этой точке меняется с возрастающего на убывающий (или наоборот).
Для обозначения первообразной используют знак неопределённого интеграла, то есть интеграла без указания пределов интегрирования.
Неопределенный интеграл
Определение :
- Неопределённым интегралом от функции f(x) называется выражение F(x) + С, то есть совокупность всех первообразных данной функции f(x). Обозначается неопределённый интеграл так: \int f(x) dx = F(x) + C
- f(x) - называют подынтегральной функцией;
- f(x) dx - называют подынтегральным выражением;
- x - называют переменной интегрирования;
- F(x) - одна из первообразных функции f(x);
- С - произвольная постоянная.
Свойства неопределённого интеграла
- Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
- Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак интеграла: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx .
- Интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций:\int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx .
- Если k, b - постоянные, причём k ≠ 0, то \int f(kx + b) dx = \frac { 1 } { k } \cdot F(kx + b) + C .
Таблица первообразных и неопределенных интегралов
| Функция f(x) | Первообразная F(x) + C | Неопределенные интегралы \int f(x) dx = F(x) + C |
| 0 | C | \int 0 dx = C |
| f(x) = k | F(x) = kx + C | \int kdx = kx + C |
| f(x) = x^m, m\not =-1 | F(x) = \frac { x^ { m+1 } } { m+1 } + C | \int x { ^m } dx = \frac { x^ { m+1 } } { m+1 } + C |
| f(x) = \frac { 1 } { x } | F(x) = l n \lvert x \rvert + C | \int \frac { dx } { x } = l n \lvert x \rvert + C |
| f(x) = e^x | F(x) = e^x + C | \int e { ^x } dx = e^x + C |
| f(x) = a^x | F(x) = \frac { a^x } { l na } + C | \int a { ^x } dx = \frac { a^x } { l na } + C |
| f(x) = \sin x | F(x) = -\cos x + C | \int \sin x dx = -\cos x + C |
| f(x) = \cos x | F(x) =\sin x + C | \int \cos x dx = \sin x + C |
| f(x) = \frac { 1 } { \sin { ^2 } x } | F(x) = -\ctg x + C | \int \frac { dx } { \sin { ^2 } x } = -\ctg x + C |
| f(x) = \frac { 1 } { \cos { ^2 } x } | F(x) = \tg x + C | \int \frac { dx } { \sin { ^2 } x } = \tg x + C |
| f(x) = \sqrt { x } | F(x) =\frac { 2x \sqrt { x } } { 3 } + C | |
| f(x) =\frac { 1 } { \sqrt { x } } | F(x) =2\sqrt { x } + C | |
| f(x) =\frac { 1 } { \sqrt { 1-x^2 } } | F(x)=\arcsin x + C | \int \frac { dx } { \sqrt { 1-x^2 } } =\arcsin x + C |
| f(x) =\frac { 1 } { \sqrt { 1+x^2 } } | F(x)=\arctg x + C | \int \frac { dx } { \sqrt { 1+x^2 } } =\arctg x + C |
| f(x)=\frac { 1 } { \sqrt { a^2-x^2 } } | F(x)=\arcsin \frac { x } { a } + C | \int \frac { dx } { \sqrt { a^2-x^2 } } =\arcsin \frac { x } { a } + C |
| f(x)=\frac { 1 } { \sqrt { a^2+x^2 } } | F(x)=\arctg \frac { x } { a } + C | \int \frac { dx } { \sqrt { a^2+x^2 } } = \frac { 1 } { a } \arctg \frac { x } { a } + C |
| f(x) =\frac { 1 } { 1+x^2 } | F(x)=\arctg + C | \int \frac { dx } { 1+x^2 } =\arctg + C |
| f(x)=\frac { 1 } { \sqrt { x^2-a^2 } } (a \not= 0) | F(x)=\frac { 1 } { 2a } l n \lvert \frac { x-a } { x+a } \rvert + C | \int \frac { dx } { \sqrt { x^2-a^2 } } =\frac { 1 } { 2a } l n \lvert \frac { x-a } { x+a } \rvert + C |
| f(x)=\tg x | F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C | \int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C |
| f(x)=\ctg x | F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C | \int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C |
| f(x)=\frac { 1 } { \sin x } | F(x)= l n \lvert \tg \frac { x } { 2 } \rvert + C | \int \frac { dx } { \sin x } = l n \lvert \tg \frac { x } { 2 } \rvert + C |
| f(x)=\frac { 1 } { \cos x } | F(x)= l n \lvert \tg (\frac { x } { 2 } +\frac { \pi } { 4 }) \rvert + C | \int \frac { dx } { \cos x } = l n \lvert \tg (\frac { x } { 2 } +\frac { \pi } { 4 }) \rvert + C |
Формула Ньютона–Лейбница
Пусть f (х) данная функция, F её произвольная первообразная.
\int_ { a } ^ { b } f(x) dx =F(x)|_ { a } ^ { b } = F(b) - F(a)
где F(x) - первообразная для f(x)
То есть, интеграл функции f (x) на интервале равен разности первообразных в точках b и a .
Площадь криволинейной трапеции
Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке функции f , осью Ox и прямыми x = a и x = b .
Площадь криволинейной трапеции находят по формуле Ньютона-Лейбница:
S= \int_ { a } ^ { b } f(x) dx
Государственное бюджетное профессиональное общеобразовательное учреждение
«Невинномысский энергетический техникум»
Методическая разработка открытого занятия по дисциплине «Математика»
Тема занятия :
Первообразная функции. Неопределенный интеграл.
Преподаватель математики:
Скрыльникова Валентина Евгеньевна
Невинномысск 2016 год.
Цели занятия :
Образовательная : Сформировать представления об интегральном исчислении, уяснить его суть. Выработать навыки нахождения неопределенного интеграла и первообразных, умения пользоваться свойствами и методами интегрирования.
Развивающая: Развивать математически грамотную речь, внимание, сознательное восприятие учебного материала.
Воспитательная : Воспитывать познавательную активность, сообразительность и мышление, благодарность к достижению великих математиков в области интегрирования.
Вид занятия : урок
Тип занятия : сообщения новых знаний
Метод проведения : словесный, наглядный, самостоятельная работа.
Квалификационные требования:
Ученики должны:
В ходе изучения темы « Первообразная функции. Неопределенный интеграл » студентам предстоит усвоить основные понятия и утверждения, иметь представления о возможностях применения средств интегрального исчисления в геометрических, физических и др. прикладных задачах.
Знать:
определение первообразной функции и неопределенного интеграла;
свойства и методы нахождения интегралов
формулы простейших интегралов.
Уметь:
вычислять первообразные и неопределенный интеграл, используя основные свойства и методы нахождения.
Междисциплинарные связи : физика, история математики.
Внутридисциплинарные связи : «Нахождение производной», «Вычисление объемов тел», «Вычисление определенного интеграла».
Обеспечение занятия :
-Наглядные пособия : портреты великих математиков, имеющих представление к интегральному исчислению
-Раздаточный материал : конспект со схемами, карточки с заданиями (на этапе закрепления).
-Оборудование : чертежные принадлежности, линейка.
Структура занятия.
1. Организационный момент (1 мин.)
Мотивация учебной деятельности. (3 мин.)
Изложение нового материала. (50-51 мин.)
Самостоятельная работа (10 мин)
Закрепление изученного материала. (5 мин.)
Подведение итогов занятия. (2-3 мин.)
Сообщение домашнего задания. (1мин.)
Ход занятия.
Организационный момент . (1 мин.)
Преподаватель приветствует студентов, проверяет присутствующих в аудитории.
Учащиеся готовятся к работе. Староста заполняет рапортичку. Дежурные раздают раздаточный материал.
Мотивация учебной деятельности .(3 мин.)
Тема сегодняшнего занятия «Первообразная функции. Неопределенный интеграл.». Знания по данной теме нами будет использоваться на следующих уроках при нахождении определенных интегралов, площадей плоских фигур. Большое внимание уделяется интегральному исчислению в разделах высшей математики в высших учебных заведениях при решении прикладных задач.
Наше сегодняшнее занятие является занятием изучения нового материала, по этому будет носить теоретический характер.
Цель занятия: сформировать представления об интегральном исчислении, понять его сущность, развивать навыки при нахождении первообразных и неопределенного интеграла.
Студенты записывают дату и тему занятия.
3.Изложение нового материала (50-51 мин)
Тема : «Первообразная функции. Неопределенный интеграл.»
Из истории интегрального исчисления. О происхождении терминов и обозначений.
Определение первообразной, её основное свойство, правила нахождения первообразных.
Понятие неопределенного интеграла, его свойства.
1. История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачами, которые мы сейчас относим к задачам на вычисление площадей.
Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении таких задач связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским. С помощью этого метода Евдокс доказал:
1. Площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров.
2. Объём конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же высоту и основание.
Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом и были доказаны такие вещи:
1. Вывод формулы площади круга.
2. Объем шара равен 2/3 объема цилиндра.
Все достижения были доказаны великими математиками с применением интегралов.
Символ введен Лейбницем в 1675 г. Этот знак является изменением латинской буквы S. Само слово « интеграл » придумано Бернулли в 1690 г. Оно происходит от латинского integro, которое переводится, как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. Действительно, операция интегрирования обратная операции дифференцирования т.е. для того, чтобы проверить правильность нахождения интеграла необходимо продифференцировать ответ и получить подынтегральную функцию. Другими словами интегральное исчисление решает задачу: по заданной производной или дифференциалу неизвестной функции требуется определить эту функцию. Отсюда можно сделать вывод, который мы запишем в виде определения.
2. Определение 1 : Функция F (x ) называется первообразной для функции f (x ) на данном промежутке, если для любого x из этого промежутка F ’(x ) = f (x ).
Пример: Первообразной для функции f ( x )= x 3 на всей числовой оси является F ( x )= x 4 /4, поскольку ( x 4 /4)’= x .
Основное свойство первообразных
Если F (x ) – первообразная функции f (x ), то и функция F (x )+ C , где C – произвольная постоянная, также является первообразной функции f (x ).
Геометрическая интерпретация
графики всех первообразных данной функции f ( x ) получаются из графика какой-либо одной первообразной параллельными переносами вдоль оси y .
Три правила нахождения первообразных
Правило №1: Если F есть первообразная для функции f, а G – первообразная для g, то F+G – есть первообразная для f+g.
(F(x) + G(x))’ = F’(x) + G’(x) = f + g
Правило №2: Если F – первообразная для f, а k – постоянная, то функцияkF – первообразная для kf.
(kF)’ = kF’ = kf
Правило №3:
Если F – первообразная для f, а k и b– постоянные (
), то функция
- первообразная для f(kx+b).
3. Вернемся к теореме 1 и выведем новое определение.
Определение 2 : Выражение F(x) + C, где C - произвольная постоянная, называют неопределенным интегралом и обозначают символом
Из определения имеем:
(1)
Неопределенный интеграл функции f(x), таким образом, представляет собой множество всех первообразных функций для f(x) .
В равенстве (1) функцию f(x) называется подынтегральной функцией , а выражение f(x)dx– подынтегральным выражением , переменную x – переменной интегрирования , слагаемое C - постоянной интегрирования .
Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию. Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.
Неопределенный интеграл
Совокупность всех первообразных данной функции f ( x ) называется ее неопределенным интегралом и обозначается :
где C – произвольная постоянная.
Свойства неопределенного интеграла.
Опираясь на определение первообразной, легко доказать следующие свойства неопределенного интеграла
Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению
Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная
Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то есть если a=const, то
Таблица простейших интегралов.
Учащиеся записывают фамилии великих математиков и их достижения в области интегрального исчисления.
Учащиеся записывают информацию об истории возникновения интеграла.
Учащиеся записывают лекцию, используя раздаточный материал и объяснения преподавателя. При доказательствах свойств первообразных и интегралов, используют знания по теме дифференцирования.
Решение примеров на нахождение неопределенного интеграла.
Самостоятельная работа
Вариант 1
4.Закрепление изученного материала.(12 мин)
На этапе закрепления изученного материала предлагается игра «Найди свою половинку». Всем присутствующим предлагается разбиться на восемь подгрупп. Каждой подгруппе раздается карточка, на которой написано либо «функция» либо «первообразная» и соответствующее задание, т.е.
Если на вашей карточке написано слово «функция», то вы должны используя таблицу простейших интегралов найти интеграл от этой функции.
Если написано «первообразная», то вы должны найти саму функцию, используя операцию дифференцирования.
Свою «половинку» найти на доске. После чего прикрепить магнитом свой ответ. После полного набора, убедимся, что все совпадения правильные. Каким образом? Перевернуть ответы обратной стороной, где образуется ключевое слово «Интеграл» - тема занятия.
Придерживаться инструктажа по правилам игры.
ИКТИБ ИТА ЮФУ
КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ
Глава 5 Интегральное исчисление
функции одной переменной
Лекция 21 Первообразная, неопределенный интеграл
План лекции
Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Табличное интегрирование. Свойство инвариантности формул интегрирования. Подведение под знак дифференциала. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям. Разложение многочленов на множители. Разложение правильных рациональных дробей на простейшие. Интегрирование простейших и рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических функций и некоторых иррациональных выражений.
Понятие первообразной и неопределенного интеграла
Что такое интеграл? Правда ли, что интегрирование – это действие, обратное дифференцированию. Давайте ответим на эти и другие вопросы.
Определение 1 . Первообразной для функции называется функция , такая что .
Итак, первообразная – это функция, производная от которой равна заданной функции. Заметим, что первообразная для заданной функции не определяется однозначно. Например, производная от функции равна функции . Следовательно, функция является первообразной для функции . Но ведь производная от функции также равна функции . Следовательно, функция также является первообразной для функции , как и функция , где - произвольная постоянная.
Теорема 1 . (Общий вид первообразных для заданной функции) Пусть функция является первообразной для функции . Тогда любая первообразная функции представляется в виде , где - произвольная постоянная. И наоборот, при любом функция является первообразной для функции .
Доказательство
. Вторая часть теоремы очевидна, т. к. очевидно, . Теперь достаточно доказать, что, если производные двух функций равны, то эти функции отличаются на константу. По сути, достаточно доказать, что если производная от функции (разности упомянутых функций) равна 0, то это производная от константы. Но это действительно так. Возьмем любые две точки. Разность значений функции в этих точках по формуле конечных приращений Лагранжа равна производной в некоторой промежуточной точке, умноженной на разность аргументов (
). Но ведь производная везде равна 0, следовательно, и приращение функции всегда равно 0, т. е. функции равна константе. Теорема доказана.
Определение 2 . Совокупность всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом .
Итак, действительно, вычислить неопределенный интеграл – это означает выполнение действия, обратного вычислению производной. Кроме того, с учетом теоремы 1, справедлива формула для вычисления неопределенного интеграла 
, (1)
где - одна из первообразных для функции , которая называется поды
нтегральной функцией.
Мы уже знаем, что производная функции имеет многочисленные приложения. Речь в приложениях, конечно идет о значении производных в отдельных точках, т. е. о числах. Обратите внимание, что неопределенный интеграл – это совокупность функций. Поэтому непосредственное применение неопределенного интеграла весьма ограничено. В приложениях встречаются другие виды интегралов, где результатом является число, а технически вычисление сводится к нахождению первообразной функции. Поэтому очень важно научиться вычислять неопределенный интеграл.
1. От каких функций можно вычислить
неопределенный интеграл
Мы знаем, что можно вычислить производную любой элементарной функции, используя таблицу производных основных элементарных функций и правила вычисления производных (производная суммы, разности, произведения, частного, сложной функции).
Отсюда можно написать таблицу первообразных, прочитав таблицу производных «справа налево». Можно также сформулировать правила, соответствующие правилам вычисления производной. С суммой, разностью, вынесением числового множества правила дифференцирования и интегрирования идентичны. А вот с произведением, частным и вычислением производной сложной функции ситуация сложнее. Ведь производная, скажем, произведения не равна «произведению производных». Поэтому таблица первообразных и правила вычисления первообразных не позволяют найти первообразную любой элементарной функции. Существуют, так называемые, «не берущиеся» интегралы от элементарных функций. Например, казалось бы, простой интеграл нельзя в нашем понимании вычислить, т. к. среди элементарных функций нет функции, производная от которой равна . Первообразная для непрерывной функции существует всегда, но в данном случае она не среди элементарных. Такие функции называются специальными. Многие из них нужны в приложениях, и их изучают особо.
Итак, в отличии от вычисления производной функции, от нас не требуется умение вычислить неопределенный интеграл от любой элементарной функции. Мы изучим определенные типы элементарных функций, от которых должны научиться вычислять неопределенные интегралы.
Таблица простейших неопределенных интегралов
Давайте вспомним таблицу производных основных элементарных функций:
| 1) | 2) | 3) | 4)  |
| 5) | 6)  | 7) | 8)  |
9)  | 10)  | 11)  | 12)  |
Во многом она порождает таблицу простейших неопределенных интегралов. Здесь есть и другие интегралы. Все они легко могут быть проверены вычислением производной от правых частей.
| 1) | 2) | 3)  |
| 4) | 5)  | 6)  |
7)  | 8)  | 9)  |
10)  | 11)  | 12)  |
13)  | 14)  | 15)  |
| | | следующая лекция ==> | |
| | |
Основная задача дифференциального исчисления состоит в нахождении дифференциала данной функции или ее производной. Интегральное исчисление решает обратную задачу:по заданному дифференциалу, а, следовательно, и производной неизвестной функции F(x), требуется определить эту функцию. Иными словами, имея выражение
или соответственно
,
где f(x) – известная функция, нужно найти функцию F(x). Искомая функция F(x) называется при этом первообразной функцией по отношению к функции f(x) . Для простоты мы будем предполагать, что равенство (1) выполняется на некотором конечном или бесконечном промежутке.
Определение: Первообразной функциейдля данной функции f(x) на данном промежутке называется такая функция F(x), производная которой равна f(x) или дифференциал которой равен f(x)dx на рассматриваемом промежутке.
Например, одной из первообразных функций для функции будет , ибо 
. Первообразная функция не единственна, так как и т.д., и поэтому функции 
и т.п. также являются первообразными для функции . Следовательно, данная функция имеет бесчисленное множество первообразных.
В нашем примере каждые две первообразные отличались друг от друга на некоторое постоянное слагаемое. Покажем, что это будет иметь место и в общем случае.
Теорема: Две различные первообразные одной и той же функции, определенной на некотором промежутке, отличаются друг от друга на этом промежутке на постоянное слагаемое.
Доказательство:
В самом деле, пусть f(x)
– некоторая функция, определенная на промежутке 
, и F 1 (x), F 2 (x)
– ее первообразные, т.е.
и 
.
Отсюда 
.
| y=F 1 (x) |
| y=F 2 (x) |
| F 1 (x) |
| F 2 (x) |
| С |
| М 2 |
| М 1 |
| х |
| α |
| X |
| α |
| Y |
| Рис. 1. |
Но если две функции имеют одинаковые производные, то эти функции отличаются друг от друга на постоянное слагаемое. Следовательно,
F 1 (x) - F 2 (x) = С,
где С – постоянная величина. Теорема доказана.
Рассмотрим геометрическую иллюстрацию. Если у = F 1 (x) и Y = F 2 (x)
Первообразные одной и той же функции f(x), то касательные к их графикам в точках с общей абсциссой х параллельны между собой (рис. 1):
tgα = = f(x)
.
В таком случае расстояние между этими кривыми вдоль оси Оу остается постоянным: F 2 (x) – F 1 (x) = С, т.е. эти кривые в некотором смысле «параллельны» друг другу.
Следствие:
Прибавляя к какой-либо первообразной функции f(x)
, определенной на промежутке , все возможные постоянные С,
мы получим все первообразные для функции f(x).
В самом деле, если F(x) есть первообразная функция для f(x), то функция F(x)+C , где С - любая постоянная, также будет первообразной функции f(x), так как .
С другой стороны, мы доказали, что каждая первообразная функции f(x) может быть получена из функции F(x) путем прибавления к ней надлежащим образом подобранного постоянного слагаемого С .
Следовательно, выражение F(x) + С
, где 
, (2)
где F(x) – какая-либо первообразная для функции f(x) , исчерпывает всю совокупность первообразных для данной функции f(x) .
В дальнейшем мы будем предполагать, если явно не оговорено противное, что рассматриваемая функция f(x)
определена и непрерывна на некотором конечном или бесконечном промежутке .
Введем теперь основное понятие интегрального исчисления – понятие неопределенного интеграла.
Определение:
Общее выражение для всех первообразных данной непрерывной функции f(x)
называется неопределенным интегралом от функции f(x)
или от дифференциального выражения f(x)dx
и обозначается символом 
.
При этом функция f(x) называется подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx называется подынтегральным выражением.
Согласно определению неопределенного интеграла можно записать
, (3)
| С 4 |
| С 3 |
| С 2 |
| С 1 |
| X |
| Y |
| Рис. 2. |
, постоянная С
может принимать любое значение, и поэтому называется произвольной постоянной.
Пример.
Как мы видели, для функции одной из первообразных является функция . Поэтому 
.
Геометрически неопределенный интеграл у=F(x)+C представляет собой семейство «параллельных» кривых (рис.2).
