Из содержания предыдущих параграфов видно, что введенные выше простейшие кинематические элементы - угловые скорости вращения тела (или системы координат) и скорости поступательных движений подчиняются тем же законам, что и силы и пары в статике. В самом деле, пары вращений или поступательные движения аналогичны парам сил. Как и в статике, совокупность кинематических пар эквивалентна паре, момент которой (или скорость результирующего поступательного движения) равен сумме моментов слагаемых пар.
Угловые скорости вращения вокруг осей, пересекающихся в одной точке, заменяются одной угловой скоростью так же, как и сходящаяся система сил в статике приводится к одной силе (равнодействующей). Аналогия между угловыми скоростями составляющих вращений и силами этим не ограничивается. Мы сейчас установим, что сложение вращений вокруг параллельных осей совершенно аналогично сложению параллельных сил.
Предположим, что тело вращается с угловой скоростью ω 2 вокруг оси O 2 z 2 относительно системы координат O 2 x 2 y 2 z 2 , а последняя вращается с угловой скоростью ω 1 вокруг оси O 1 z 1 относительно системы координат O 1 x 1 y 1 z 1 , причем оси O 1 z 1 и O 2 z 2 параллельны (рис. 14.7).
Тогда абсолютная скорость любой точки М тела
Скорости v r и v e точки М расположены в плоскости, перпендикулярной осям O 1 z 1 и O 2 z 2 , следовательно, и абсолютная скорость v точки М лежит в плоскости, перпендикулярной этим осям. Так как точка М произвольна, то это означает, что тело участвует в плоском движении. Найдем в плоскости x 1 O 1 y 1 мгновенный центр скоростей в случае, когда ω 1 и ω 2 направлены в одну сторону (рис. 14.7, а).
Для точки Р , лежащей на прямой O 1 O 2 , v r и v е коллинеарны, но направлены в разные стороны. Для того чтобы их геометрическая сумма была равна нулю, должно выполняться равенство
(14.11)
Точка Р делит отрезок O 1 O 2 внутренним образом на части, обратно пропорциональные модулям угловых скоростей составляющих вращений.
Перейдем теперь к сложению вращений, имеющих противоположные направления. Пусть Скорости v r и v е в этом мой O 1 O 2 , расположенных вне отрезка O 1 O 2 (рис. 14.7, б). Найдем точку Р , в которой эти скорости равны:
(14.12)
Точка Р делит отрезок O 1 O 2 внешним образом на части, обратно пропорциональные модулям угловых скоростей. Такую точку всегда можно найти, если только
В каждом из рассмотренных случаев точка Р имеет скорость, равную нулю, т.е.
Найдем теперь скорость произвольной точки М :
Здесь r" - радиус-вектор точки М относительно мгновенного центра скоростей Р . Раскрывая скобки в правой части и используя равенство (14.13), получим
где 
Отсюда следует, что совокупность двух вращений, происходящих вокруг параллельных осей, но не представляющих собой пары вращений, приводится к одному вращению, мгновенная ось которого делит внутренним или внешним образом расстояние между осями составляющих вращений на части, обратно пропорциональные модулям угловых скоростей. Угловая скорость результирующего вращения равна геометрической сумме угловых скоростей составляющих движений.
Если угловые скорости направлены в одну сторону, то мгновенная ось вращения расположена между, осями О 1 z 1
и О 2 z 2
и модуль результирующей угловой скорости 
В случае противоположно направленных вращений мгновенная ось расположена за осью, вокруг которой вращение происходит с большей угловой скоростью и 
Результирующая угловая скорость направлена в сторону большей из угловых скоростей.
Задачи
Задача 14.3. В редукторе (рис. 14.8) водило ОС делает n=720 об/мин, а подвижные шестерни 2 и 3 вращаются вокруг своей оси относительно поводка в том же направлении с угловой скоростью, соответствующей n 23 = 240 об/мин. Определить радиус r 1 неподвижного колеса 1 и число оборотов вала II , если ОС = 240 мм, r 4 = 40 мм (r 4 -радиус шестерни 4).
Подвижные шестерни 2 и 3 совершают сложное движение. Они вращаются вокруг оси MN
относительно поводка и вместе с этой осью вокруг оси вала.
Радиус r 1 неподвижного колеса 1 найдем из условия, что мгновенная ось абсолютного вращения шестерен 2 и 3, параллельная оси MN , проходит через точку касания неподвижного колеса 1 и подвижной шестерни 2. На основании соотношения (14.11) можем записать:
где ω 23 -угловая скорость шестерен 2 и 3 при их вращении вокруг оси MN, а ω - угловая скорость вала I .
Между угловой скоростью и числом оборотов в минуту существует зависимость вида
следовательно,
Абсолютная угловая скорость ω а шестерен 2 и 3 при вращении вокруг мгновенной оси на основании (14.14) равна
ω a = ω+ ω 23
Характеризуя угловую скорость числом оборотов, получим
n a = n + n 23 = 720 + 240 = 960 об/мин.
Для определения числа оборотов шестерни 4, а следовательно, и вала II, воспользуемся тем обстоятельством, что абсолютные скорости точек шестерен 3 и 4 в точке В их зацепления равны между собой (нет относительного проскальзывания):
Таким образом,
Задача 14.4. Сколько оборотов в минуту должен делать ведущий вал I редуктора (рис. 14.9), чтобы ведомый вал II совершал n 4 =1800 об/мин?
Первое колесо с внутренними зубьями неподвижно. Дано: r 1 =150 мм, r 2 = 30 мм, r 4 = 50 мм.
Подвижные шестерни 2 и 3 как одно целое совершают сложное движение. Они вращаются вокруг оси MN
относительно поводка и вместе с ней вращаются вокруг оси I
.
Мгновенная ось абсолютного вращения этих шестерен проходит через точку В - точку зацепления подвижной шестерни 2 и неподвижной шестерни I . Эта ось параллельна оси MN . Так как мгновенная ось абсолютного вращения шестерен 2 и 3 лежит вне осей слагаемых движений, то вращение этих шестерен вокруг оси MN происходит в сторону, противоположную направлению вращения вала I .
Рассмотрим случай, когда относительное движение тела является вращением с угловой скоростью вокруг оси аа", укрепленной на кривошипе bа (рис. 74, а), а переносное - вращением кривошипа bа вокруг оси, параллельной, с угловой скоростью. Тогда движение тела будет плоскопараллельным по отношению к плоскости, перпендикулярной осям. Здесь возможны три частных случая.
1. Вращения направлены в одну сторону. Изобразим сечение S тела плоскостью, перпендикулярной осям (рис. 74, б). Следы осей в сечении S обозначим буквами А и В. Точка А, как лежащая на оси, получает скорость только от вращения вокруг оси Вb", следовательно, . Точно так же. При этом векторы и параллельны друг другу (оба перпендикулярны АВ) и направлены в разные стороны. Тогда точка С является мгновенным центром скоростей (), а следовательно, ось Сс", параллельная осям Аа" и Вb", является мгновенной осью вращения тела.
а)б)Рис. 74. Сложение вращений вокруг двух параллельных осей (вращения направлены в одну сторону)
Для определения угловой скорости ω абсолютного вращения тела вокруг оси Сс" и положения самой оси, т.е. точки С, воспользуемся равенством
Последний результат получается из свойств пропорции. Подставляя в эти равенства, найдем окончательно:
Итак, если тело участвует одновременно в двух направленных в одну сторону вращениях вокруг параллельных осей, то его результирующее движение будет мгновенным вращением с абсолютной угловой скоростью вокруг мгновенной оси, параллельной данным; положение этой оси определяется пропорциями.
С течением времени мгновенная ось вращения Сс" меняет свое положение, описывая цилиндрическую поверхность.
2. Вращения направлены в разные стороны. Изобразим опять сечение S тела (рис. 75) и допустим для определенности, что. Тогда, рассуждая, как в предыдущем случае, найдем, что скорости точек А и В будут численно равны, ; при этом и параллельны друг другу и направлены в одну сторону. Тогда мгновенная ось вращения проходит через точку С (рис. 75), причем
Последний результат тоже получается из свойств пропорции. Подставляя в эти равенства значения и, найдем окончательно:
Итак, в этом случае результирующее движение также является мгновенным вращением с абсолютной угловой скоростью вокруг оси Сс", положение которой определяется пропорциями.
3. Пара вращений. Рассмотрим частный случай, когда вращения вокруг параллельных осей направлены в разные стороны (рис. 76), но по модулю. Такая совокупность вращений называется парой вращений, а векторы и, образуют пару угловых скоростей.
Рис. 75. Сложение вращений вокруг двух параллельных осей (вращения направлены в разные стороны)Рис. 76. Пара вращений
В этом случае получаем что и, т.е. . Тогда мгновенный центр скоростей находится в бесконечности и все точки тела в данный момент времени имеют одинаковые скорости.
Следовательно, результирующее движение тела будет поступательным (или мгновенно поступательным) движением со скоростью численно равной и направленной перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы и; направление вектора определяется также, как в статике определялось направление момента пары сил. Иначе говоря, пара вращений эквивалентна поступательному (или мгновенно поступательному) движению со скоростью, равной моменту пары угловых скоростей этих вращений.
Учебное пособие для студентов технических вузов
У нас самая большая информационная база в рунете, поэтому Вы всегда можете найти походите запросы Тестовые задания по математике. Готовые варианты
Проведение сестринского ухода в педиатрии. Сохранение здоровья детей
Банк тестовых заданий для подготовки к экзамену «Проведение сестринского ухода в педиатрии» Раздел «Сохранение здоровья детей»
На рис. 54 изображено тело, которое совершает сложное движение – вращение вокруг оси, которая сама вращается вокруг другой, неподвижной оси. Естественно, первое вращение следует назвать относительным движением тела, второе – переносным, а соответствующие оси обозначить и .
Рис.54
Абсолютным движением будет вращение вокруг точки пересечения осей О . (Еcли тело имеет больший размер, то его точка, совпадающая с О , все время будет неподвижной). Угловые скорости переносного вращения и относительного вращения изображается векторами и , отложенными из неподвижной точки О , точки пересечения осей, по соответствующим осям.
Найдем абсолютную скорость какой-нибудь точки М тела, положение которой определяется радиусом-вектором (рис.54).
Как известно, она складывается из двух скоростей, относительной и переносной: . Но относительное движение точки (используя правило остановки), есть вращение с угловой скоростью вокруг оси , определяется радиусом-вектором . Поэтому, .
|
Переносное движение точки в данный момент времени, опять используя правило остановки, тоже есть вращение, но вокруг оси с угловой скоростью и будет определяться тем же радиусом-вектором . Поэтому и переносная скорость .
Абсолютная же скорость, скорость при вращении вокруг неподвижной точки О , при сферическом движении, определяется аналогично , где - абсолютная угловая скорость, направленная по мгновенной оси вращения Р .
По формуле сложения скоростей получим: или .
То есть мгновенная угловая скорость, угловая скорость абсолютного движения, есть векторная сумма угловых скоростей переносного и относительного движений. А мгновенная ось вращения P , направленная по вектору , совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах и (рис.54).
Частные случаи:
1. Оси вращения и параллельны, направления вращений одинаковы (рис. 55).
Рис.55
Так как векторы и параллельны и направлены в одну сторону, то абсолютная угловая скорость по величине равна сумме их модулей и вектор ее направлен в туже сторону. Мгновенная ось вращения Р делит расстояние между осями на части обратно пропорциональные и :
. (Аналогично равнодействующей параллельных сил).
В этом частном случае тело А совершает плоскопараллельное движение. Мгновенный центр скоростей находится на оси Р .
2. Оси вращения параллельны, направления вращений противоположны (рис.56).
Рис.56
В этом случае (при ). Мгновенная ось вращения и мгновенный центр скоростей находятся за вектором большей угловой скорости на расстояниях таких, что (опять по аналогии определения равнодействующей параллельных сил).
3. Оси вращения параллельны, направления вращений противоположны и угловые скорости равны .
Угловая скорость абсолютного движения и, следовательно, тело совершает поступательное движение. Этот случай называется парой вращений , по аналогии с парой сил.
Пример 16. Диск радиусом R вращается вокруг горизонтальной оси с угловой скоростью , а эта ось вместе с рамкой вращается вокруг вертикальной неподвижной оси с угловой скоростью (рис.57).
Рис.57
Горизонтальная ось – это ось относительного вращения ; вертикальная ось – ось переносного вращения . Соответственно угловые скорости векторы их направлены по осям и .
Абсолютная угловая скорость , а величина ее, так как ,
Скорость точки А , например, можно найти или как сумму переносной и относительной скоростей: , где
или как при абсолютном движении, при вращении вокруг мгновенной оси Р , .
Вектор скорости будет расположен в плоскости перпендикулярной вектору и оси Р .
Пример 17. Водило ОА с укрепленными на нем двумя колесами 2 и 3 вращается вокруг оси О с угловой скоростью . Колесо 2 при этом будет обкатываться по неподвижному колесу 1 и заставит вращаться колесо 3. Найдем угловую скорость , этого колеса. Радиусы колес (рис. 58).
Рис.58
Колесо 3 участвует в двух движениях. Вращаться вместе с водилом вокруг оси О и относительно оси . Ось О будет переносной осью, ось – относительной. Переносная угловая скорость колеса 3 – это угловая скорость водила , направленная по часовой стрелке, как .
Чтобы определить угловую скорость относительного движения, наблюдателю нужно находиться на водиле. Он увидит водило неподвижным, колесо 1 вращающимся против часовой стрелки со скоростью (рис. 59), а колесо 3 – вращающимся с относительной угловой скоростью , против часовой стрелки. Так как , то . Оси вращения параллельны, направления вращений противоположны. Поэтому и направлена так же как , против часовой стрелки. В частности, если , то и .Колесо 3 будет двигаться поступательно.
Рис.59
Исследование движения других подобных конструкций (планетарных и дифференциальных редукторов, передач) ведется аналогичным способом.
Переносной угловой скоростью является угловая скорость водила (рамки, крестовины и т.п.), а чтобы определить относительную скорость какого-либо колеса, нужно водило остановить, а неподвижное колесо заставить вращаться с угловой скоростью водила, но в противоположную сторону.
Угловые ускорения тела в абсолютном движении можно искать как производную , где . Покажем (рис.60) единичные векторы и (орты осей и ), а векторы угловых скоростей запишем так: , . и , как скорость конца вектора . Модуль добавочного углового ускорения , где - угол между осями.
Конечно, если оси вращения параллельны, это угловое ускорение будет равно нулю, так как .
1. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей. Пусть твердое тело участвует одновременно в двух вращениях: переносном с угловой скоростью и относительном с угловой скоростью . Оси вращений пересекаются в точке О (рис.49.а)
Примером тела, участвующего в двух вращениях вокруг пересекающихся осей, является диск А, свободно насаженный на ось ОО" и вращающийся вокруг нее с угловой скоростью . Вместе с осью ОО" диск еще вращается вокруг другой
оси О 1 О 2 (рис.49.б) с угловой скоростью .
По теореме о сложении скоростей для точки М имеем
Так как переносное и относительное движения являются вращениями вокруг осей, то
где h 1 и h 2 - кратчайшие расстояния от точки М до соответствующих осей вращения. Площади треугольников в параллелограмме равны, поэтому .
При сложении двух вращений вокруг пересекающихся осей, одно из которых переносное, а другое - относительное, получается вращение тела вокруг мгновенной оси.
Для определения абсолютной угловой скорости вращения вокруг мгновенной оси выберем на теле точку N и вычислим ее скорость один раз как скорость сложного движения, а другой - как вращения вокруг мгновенной оси. По формуле Эйлера для вращательных движений при сложном движении имеем
Для абсолютного вращения вокруг мгновенной оси
Приравнивая скорости, получаем
т. е. угловая скорость абсолютного вращения равна векторной сумме угловых скоростей составляющих вращений.
2. Сложение вращений вокруг параллельных осей. Следует рассмотреть три случая.
1) Вращения имеют одинаковые направления . Тело участвует в двух вращениях: переносном с угловой скоростью и относительном с угловой скоростью (рис.50). На отрезке АВ тела в рассматриваемый момент имеется точка С, скорость которой равна нулю. Действительно, по теореме сложения скоростей для точки С имеем
Скорость точки С равна нулю, если . Но , . Следовательно,
Для определения угловой скорости вращения тела вокруг мгновенной оси вычислим скорость точки В, считая ее движение сложным. Получим
Следовательно,
Для скорости точки В при вращении тела вокруг мгновенной оси имеем
Приравнивая скорости точки В, полученные двумя способами, имеем
Согласно (*),
Формулу (*) можно представить в следующем виде:
Образуя производную пропорцию и используя формулу (**), получим
Таким образом, при сложении двух вращений тела вокруг параллельных осей в одинаковых направлениях получается вращение вокруг параллельной оси в том же направлении с угловой скоростью, равной сумме угловых скоростей составляющих вращений. Мгновенная ось полученного вращения делит отрезок
между осями составляющих вращений на части, обратно пропорциональные угловым скоростям этих вращений, внутренним образом.
2) Вращения имеют противоположные направления. Рассмотрим случай, когда . Получим следующие формулы:
Таким образом, при сложении двух вращений твердого тела вокруг параллельных осей в противоположных направлениях получается вращение вокруг параллельной оси с угловой скоростью, равной разности угловых скоростей составляющих вращений в сторону вращения с большей угловой скоростью. Ось абсолютного вращения делит отрезок между осями составляющих вращений на части, обратно пропорциональные угловым скоростям этих вращений внутренним образом.
3. Пара вращений. Парой вращений называется совокупность двух вращений твердого тела, переносного и относительного, вокруг параллельных осей с одинаковыми угловыми скоростями в противоположных направлениях (рис. 52).
В этом случае Рассматривая движение тела как сложное, по теореме сложения скоростей для точки М имеем
Заменяя в формуле (~)на , соответственно получим
Объединяя результаты, имеем
Таким образом, если твердое тело участвует в паре вращений, то скорости всех точек тела, согласно (~~), одинаковы, т. е. тело совершает при этом мгновенное поступательное движение.
Следует рассмотреть три случая.
1) Вращения имеют одинаковые направления. Тело участвует в двух вращениях: переносном с угловой скоростью и относительном с угловой скоростью (рис. 71). Таким телом является диск, представленный на рис. 72. Пересечем оси вращения перпендикулярной прямой. Получим точки пересечения и , в которые можно перенести векторы угловых скоростей и . На отрезке тела в рассматриваемый момент имеется точка , скорость которой равна нулю. Действительно, по теореме сложения скоростей для точки имеем
Точки тела, для которых переносная и относительная скорости параллельны и противоположны, могут находиться только на отрезке между точками и . Скорость точки равна нулю, если Но , . Следовательно,
Прямую, перпендикулярную осям вращения, можно провести на любом расстоянии. Следовательно, существует ось, скрепленная с телом и параллельная осям вращения, скорости точек которой равны нулю в данный момент. Она является мгновенной осью вращения в рассматриваемый момент времени.
Для определения угловой скорости вращения тела вокруг мгновенной оси вычислим скорость точки , считая ее движение сложным. Получим:
Следовательно,
Для скорости точки при вращении тела вокруг мгновенной оси имеем
Приравнивая скорости точки , полученные двумя способами, имеем
Согласно (138)
Формулу (138) можно представить в виде:
Образуя производную пропорцию и используя формулу (139), получим
Таким образом, при сложении двух вращений тела вокруг параллельных осей в одинаковых направлениях получается вращение вокруг параллельной оси в том же направлении с угловой скоростью, равной сумме угловых скоростей составляющих вращений. Мгновенная ось полученного вращения делит отрезок между осями составляющих вращений на части, обратно пропорциональные угловым скоростям вращений, внутренним образом . Точка при таком делении располагается между точками и .
Справедливо обратное. Вращение вокруг оси с угловой скоростью можно разложить на два вращения вокруг двух параллельных осей с угловыми скоростями и .
Тело, участвующее в двух вращениях вокруг параллельных осей, совершает плоское движение. Плоское движение твердого тела можно представить как два вращения, переносное и относительное, вокруг параллельных осей. Плоское движение колеса сателлита 2 по неподвижному колесу 1 (рис. 73) является примером движения, которое можно заменить двумя вращениями вокруг параллельных осей в одном и том же направлении, например против движения часовой стрелки. Колесо сателлита совершает переносное вращение вместе с кривошипом вокруг оси, проходящей через точку с угловой скоростью , и относительное вращение вокруг оси, проходящей через точку с угловой скоростью . Оба вращения имеют одинаковые направления. Абсолютное вращение происходит вокруг оси, проходящей через точку , которая является в данный момент МЦС. Она находится в месте соприкосновения колес, если подвижное колесо катится без скольжения по неподвижному. Угловая скорость абсолютного вращения
Абсолютное вращение с этой угловой скоростью происходит в том же направлении, что и составляющие движения.
2) Вращения имеют противоположные направления. Рассмотрим случай, когда (рис. 74). Получим следующие формулы:
Для вывода этих формул разложим вращение с угловой скоростью на два вращения в том же направлении вокруг двух параллельных осей с угловыми скоростями и . Ось одного из вращений с угловой скоростью возьмем проходящей через точку и выберем . Другое вращение с угловой скоростью пройдет через точку (рис. 75). На основании (139) и (140) имеем
Справедливость формул (141) и (142) доказана. Таким образом, при сложении двух вращений твердого тела вокруг параллельных осей в противоположных направлениях получается вращение вокруг параллельной оси с угловой скоростью, равной разности угловых скоростей составляющих вращений в сторону вращения с большей угловой скоростью. Ось абсолютного вращения делит отрезок между осями составляющих вращений на части, обратно пропорциональные угловым скоростям этих вращений внутренним образом. Точка при таком делении находится на отрезке за точкой , через которую проходит ось вращения с большей угловой скоростью.
Можно также одно вращение разложить на два вокруг параллельных осей с противоположными направлениями вращения. Примером плоского движения твердого тела, которое может быть представлено двумя вращениями вокруг параллельных осей в противоположных направлениях, является движение колеса сателлита, катящегося внутри неподвижного колеса без скольжения (рис. 76). Переносным в этом случае является вращение колеса 2 вместе с кривошипом с угловой скоростью вокруг оси, проходящей через точку . Относительным будет вращение колеса 2 вокруг оси, проходящей через точку с угловой скоростью , и абсолютным – вращение этого колеса вокруг оси, проходящей через МЦС, точку , с угловой скоростью . В этом случае и потому угловая скорость абсолютного вращения . Это вращение по направлению совпадает с направлением вращения, имеющим большую угловую скорость. Ось абсолютного вращения расположена вне отрезка за осью вращения с большей угловой скоростью.
3) Пара вращений. Парой вращений называется совокупность двух вращений твердого тела, переносного и относительного, вокруг параллельных осей с одинаковыми угловыми скоростями в противоположных направлениях (рис. 77). В этом случае . Рассматривая движение тела как сложное, по теореме сложения скоростей для точки имеем
Составляющие движения являются вращениями с угловыми скоростями и . По формуле Эйлера для них получим
После этого для абсолютной скорости имеем
так как . Учитывая, что , получаем
Так как векторное произведение можно назвать моментом угловой скорости относительно точки , то
Она равна векторному моменту пары вращений, который может быть также выражен векторным моментом одной из угловых скоростей относительно какой-либо точки, расположенной на оси вращения тела с другой угловой скоростью, входящей в пару вращений. Скорость поступательного движения тела, участвующего в паре вращений, зависит только от характеристик пары вращений. Она перпендикулярна осям пары вращений. Числовое ее значение можно выразить как
где – кратчайшее расстояние между осями пары или плечо пары.
Пара вращений аналогична паре сил, действующей на твердое тело. Угловые скорости вращения тела, аналогично силам, являются векторами скользящими. Векторный момент пары сил является вектором свободным. Аналогичным свойством обладает и векторный момент пары вращений.
Если с шестеренкой 2 скрепить прямолинейный отрезок , то он при движении механизма будет оставаться параллельным своему первоначальному положению. Если этот горизонтальный отрезок совместить с дном стаканчика с водой, прикрепив стаканчик к подвижной шестеренке, то вода не выльется из стаканчика при движении механизма в вертикальной плоскости.
При поступательном движении траектории всех точек тела одинаковы. Точка описывает окружность радиуса . Траектории всех других точек подвижной шестеренки будут тоже окружностями такого же радиуса. Тело, участвующее в паре вращений, совершает плоское поступательное движение.
