Средняя линия фигур в планиметрии - отрезок, соединяющий середины двух сторон данной фигуры. Понятие употребляется для следующих фигур: треугольник, четырёхугольник, трапеция.

Энциклопедичный YouTube

1 / 3

✪ 8 класс, 25 урок, Средняя линия треугольника

✪ геометрия СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА Атанасян 8 класс

✪ Средняя линия треугольника | Геометрия 7-9 класс #62 | Инфоурок

Субтитры

Средняя линия треугольника

Свойства

средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
при пересечении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.
средняя линия отсекает треугольник, который подобен данному, а его площадь равна одной четвёртой площади исходного треугольника.
Три средние линии треугольника разбивает его на 4 равных (одинаковых) треугольника, подобных исходному треугольнику. Все 4 таких одинаковых треугольника называют серединными треугольниками. Центральный из этих 4 одинаковых треугольников называется дополнительным треугольником .

Признаки

если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину одной стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то это средняя линия.

Средняя линия четырёхугольника

Средняя линия четырёхугольника - отрезок, соединяющий середины противолежащих сторон четырёхугольника.

Свойства

Первая линия соединяет 2 противоположные стороны. Вторая соединяет 2 другие противоположные стороны. Третья соединяет центры двух диагоналей (не во всех четырёхугольниках диагонали пунктом пересечения делятся пополам).

Если в выпуклом четырёхугольнике средняя линия образует равные углы с диагоналями четырёхугольника, то диагонали равны.
Длина средней линии четырёхугольника меньше полусуммы двух других сторон или равна ей, если эти стороны параллельны, и только в этом случае.
Середины сторон произвольного четырёхугольника - вершины параллелограмма . Его площадь равна половине площади четырёхугольника, а его центр лежит на точке пересечения средних линий. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона;
Последний пункт означает следующее: В выпуклом четырёхугольнике можно провести четыре средние линии второго рода . Средние линии второго рода - четыре отрезка внутри четырёхугольника, проходящие через середины его смежных сторон параллельно диагоналям. Четыре средние линии второго рода выпуклого четырёхугольника разрезают его на четыре треугольника и один центральный четырёхугольник. Этот центральный четырёхугольник является параллелограммом Вариньона.
Точка пересечения средних линий четырёхугольника является их общей серединой и делит пополам отрезок, соединяющий середины диагоналей. Кроме того, она является

Трапеция — это четырехугольник, имеющий две параллельные стороны, являющиеся основаниями и две не параллельные стороны, являющиеся боковыми сторонами.

Также встречаются такие названия, как равнобокая или равнобочная .

— это трапеция, у которой углы при боковой стороне прямые.

Элементы трапеции

a, b — основания трапеции (a параллельно b ),

m, n — боковые стороны трапеции,

d 1 , d 2 — диагонали трапеции,

h — высота трапеции (отрезок, соединяющий основания и при этом перпендикулярен им),

MN — средняя линия (отрезок, соединяющий середины боковых сторон).

Площадь трапеции

Через полусумму оснований a, b и высоту h : S = \frac{a + b}{2}\cdot h
Через среднюю линию MN и высоту h : S = MN\cdot h
Через диагонали d 1 , d 2 и угол (\sin \varphi ) между ними: S = \frac{d_{1} d_{2} \sin \varphi}{2}

Свойства трапеции

Средняя линия трапеции

Средняя линия параллельна основаниям, равна их полусумме и разделяет каждый отрезок с концами, находящимися на прямых, которые содержат основания, (к примеру, высоту фигуры) пополам:

MN || a, MN || b, MN = \frac{a + b}{2}

Сумма углов трапеции

Сумма углов трапеции , прилежащих к каждой боковой стороне, равна 180^{\circ} :

\alpha + \beta = 180^{\circ}

\gamma + \delta =180^{\circ}

Равновеликие треугольники трапеции

Равновеликими , то есть имеющими равные площади, являются отрезки диагоналей и треугольники AOB и DOC , образованные боковыми сторонами.

Подобие образованных треугольников трапеции

Подобными треугольниками являются AOD и COB , которые образованы своими основаниями и отрезками диагоналей.

\triangle AOD \sim \triangle COB

Коэффициент подобия k находится по формуле:

k = \frac{AD}{BC}

Причем отношение площадей этих треугольников равно k^{2} .

Отношение длин отрезков и оснований

Каждый отрезок, соединяющий основания и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, поделен этой точкой в отношении:

\frac{OX}{OY} = \frac{BC}{AD}

Это будет являться справедливым и для высоты с самими диагоналями.

Средняя линия треугольника интересный характеризующий отрезок, так как обладает несколькими свойствами, позволяющими найти простое решение для казалось бы сложной задачи. Поэтому рассмотрим основные свойства средней линии и поговорим о том, как найти длину этого отрезка в треугольнике.

Треугольник и его характеризующие отрезки

Треугольник это фигура, состоящая из трех сторон и трех углов. В зависимости от углов треугольники делятся на:

Остроугольные
Тупоугольные
Прямоугольные

Рис. 1. Виды треугольников

Основными характеризующими отрезками треугольника являются:

Медиана – отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны.
Биссектриса – отрезок, делящий угол пополам
Высота - перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону.

Рис. 2. Высота, медиана и биссектриса в треугольнике

Для каждого из характеризующих отрезков существует своя точка пересечения. При соединении трех точек пересечения медиан, биссектрис и высот получается золотое сечение треугольника.

Однако существует и ряд дополнительных характеризующих отрезков:

Серединный перпендикуляр - высота восстановленная из середины высоты. Как правило серединный перпендикуляр продолжается до пересечения с другой стороной.
Средняя линия - отрезок, соединяющий середины смежных сторон.
Радиус вписанной окружности . Вписанная окружность - окружность, которая касается каждой из сторон треугольника.
Радиус описанной окружности. Описанная окружность - окружность, содержащая в себе все стороны треугольника.

Смежными сторонами треугольников называют стороны, которые имеют общую вершину. В геометрии существует понятие противоположных сторон, т.е. сторон, которые лежат друг напротив друга и не имеют общих вершин. Но это понятие для треугольников не применимо - любая пара сторон в треугольнике является смежной.

Свойство средней линии

Свойств средней линии не так много, но все они имеют значение при решении задач. Дело в том, что задач на нахождение длины средней линии мало, а потому некоторые из них способны построить ученика в ступор при всей своей простоте.

Поэтому приведем и обсудим все свойства средней линии треугольника:

Средняя линия равна половине основания. Вообще правильнее сказать не половине основания, а половине противолежащей стороны. Так как сторон в треугольнике 3, а основание всего одно. Но в общем случае, основанием можно считать любую из сторон треугольника, так что подобная формулировка считается допустимой. К тому же ее проще выучить. В общем случае по этому свойству и определяется длина средней линии треугольника.
Средняя линия параллельна основанию. С понятием основания здесь та же ситуация, что и в прошлом свойстве.
Средняя линия отсекает от треугольника малый подобный треугольник с коэффициентом подобия, равным 0,5
Три средние линии делят треугольник на 4 равных треугольника, подобных большому треугольнику с коэффициентом подобия 0,5

Рис. 3. Средние линии в треугольнике

Собственно формула длины средней линии вытекает из второго свойства:

$m=1\over{2}*a$- где m - средняя линия, а- сторона противоположная средней линии.

Что мы узнали?

Мы поговорили о второстепенных характеризующих отрезках, выделив среднюю линию. Привели свойства средних линий и поговорили о особенностях формулировки этих свойств. Рассказали, как выводится формула длины средней линии треугольника и как средняя линия разбивает треугольник. Все эти свойства используются при решении треугольников.

Тест по теме

Оценка статьи

Средняя оценка: 4.3 . Всего получено оценок: 174.

Тема урока

Средняя линия треугольника

Цели урока

Закрепить знания школьников о треугольниках;
Познакомить учащихся с таким понятием, как средняя линия треугольника;
Сформировать знания учеников о свойствах треугольников;
Продолжать обучать детей применению свойств фигур при решении задач;
Развивать логическое мышление, усидчивость и внимание учеников.

Задачи урока

Формировать знания школьников о средней линии треугольников;
Проверить знания учащихся по пройденным темам о треугольниках;
Проверить умение учащихся решать задачи.
Развивать у школьников интерес к точным наукам;
Продолжать формировать умение учащихся излагать свои мысли и владеть математическим языком;

План урока

1. Средняя линия треугольника. Основные понятия.
2. Средняя линия треугольника, теоремы и свойства.
3. Повторение ранее изученного материала.
4. Основные линии треугольника и их свойства.
5. Интересные факты из области математики.
6. Домашнее задание.

Средняя линия треугольника

Средней линией треугольника называют такой отрезок, который соединяет середины двух сторон данного треугольника.

В каждом треугольнике есть три средние линии, которые образуют еще один новый треугольник, расположенный внутри.

Вершины вновь образованного треугольника находятся на срединах сторон данного треугольника.

В каждом треугольнике есть возможность провести три средние линии.

Теперь давайте более детально остановимся на этой теме. Посмотрите на рисунок треугольника вверху. Перед вами треугольник АВС, на котором проведении средние линии. Отрезки MN, MP и NP образуют внутри данного треугольника еще один треугольник MNP.

Свойства средней линии треугольника

Каждая средняя линия треугольника, соединяющая середины его сторон, обладает следующими свойствами:

1. Средняя линия треугольника параллельна его третей стороне и равна её половине.

Таким образом, мы видим, что сторона АС параллельна MN, которая в два раза меньше, чем сторона АС.

2. Средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника.

Если мы посмотрим на треугольник АВС, то увидим, что средние линии MN, MP и NP разделили его на четыре равных треугольника, и в итоге образовались треугольники MBN, PMN, NCP и AMP.

3. Средняя линия треугольника отсекает от данного треугольника подобный, площадь которого равняется одной четвертой исходного треугольника.

Так, например, в треугольнике АВС средняя линия MP отсекает от данного треугольника, образуя треугольник AMP, площадь которого равна одной четвертой треугольника АВС.

Треугольники

В предыдущих классах вы уже изучали такую геометрическую фигуру, как треугольник и знаете, какие бывают виды треугольников, чем они отличаются и какими свойствами обладают.

Треугольник относится к простейшим геометрическим фигурам, которые имеют три стороны, три угла и их площадь ограничена тремя точками и тремя отрезками, которые попарно соединяют эти точки.

Вот мы вспомнили определение треугольника, а сейчас давайте повторим все что вы знаете об этой фигуре, ответив на вопросы:

4. Какие виды треугольников вы уже изучили? Перечислите их.
5. Дайте определения каждому из видов треугольников.
6. Чему равна площадь треугольника?
7. Чему равна сумма углов этой геометрической фигуры?
8. Какие типы треугольников вам известны? Назовите их.
9. Какие вы знаете треугольники по типу равных сторон?
10. Дайте определение гипотенузы.
11. Сколько острых углов может быть в треугольнике?

Основные линии треугольника

К основным линиям треугольника относятся: медиана, биссектриса, высота и срединный перпендикуляр.

Медиана

Медианой треугольника называют отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны данного треугольника.

Свойства медиан треугольника

1. Она делит треугольник на два других, равных по площади;
2. Все медианы данной фигуры пересекаются в одной точке. Эта точка делит их в отношении два к одному, начиная отсчет от вершины, и называется центром тяжести треугольника;
3. Медианы разделяют данный треугольник на шесть равновеликих.

Биссектриса

Луч, который выходит из вершины и, проходя между сторонами угла, делит его пополам, называется биссектрисой этого угла.

А если отрезок биссектрисы угла соединяет его вершину с точкой, которая лежит на противолежащей стороне треугольника, то он называется биссектрисой треугольника.

Свойства биссектрис треугольника

1. Биссектрисой угла является геометрическое место точек, которые равноудалены от сторон данного угла.
2. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, которые являются пропорциональными прилежащим сторонам треугольника.
3. Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения биссектрис данной фигуры.

Высота

Перпендикуляр, который проведен с вершины к фигуры к прямой, которая является противоположной стороной треугольника, называется его высотой.

Свойства высот треугольника

1. Высота, проведенная из вершины прямого угла, делит треугольник на два подобных.
2. Если треугольник является остроугольным, то его две высоты отсекают от данного треугольника ему подобные.

Срединный перпендикуляр

Срединным перпендикуляром треугольника называют прямую, которая проходит через середину отрезка, который расположен перпендикулярно к этому отрезку.

Свойства серединных перпендикуляров треугольника

1. Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку, равноудалена от его концов. В этом случае будет верно и обратное утверждение.
2. Точка пересечения серединных перпендикуляров, которые проведены к сторонам треугольника, есть центром окружности, которая описана около этого треугольника.

Интересные факты из области математики

Будет ли для вас новостью узнать, что за расшифровку секретной переписки правительства Испании, Франсуа Виета хотели отправить на костер, так как считали, что узнать шифр мог только дьявол, а человеку это не по силам.

Известно ли вам, что первым человеком, который предложил нумеровать кресла, ряды и места, был Рене Декарт? Аристократы-театралы даже просили короля Франции дать за это Декарту награду, но, увы, король отказал, так как считал, что давать награды философу – это ниже его достоинства.

Из-за учащихся, которые могли запомнить теорему Пифагора, но не смогли ее понять, эту теорему называли «ослиным мостом». Это значило, что ученик «осел», который не смог преодолеть мост. В данном случае мостом считали теорему Пифагора.

Писатели сказочники посвящали свои произведения не только мифическим героям, людям и зверюшкам, но и математическим символам. Так, например, автор знаменитой «Красной Шапочки», написал сказку о любви циркуля и линейки.

Домашнее задание

1. Перед вами изображены три треугольника, дайте ответ, являются ли проведенные в треугольниках линии средними?
2. Сколько средних линий можно построить в одном треугольнике?

3. Дан треугольник АВС. Найдите стороны треугольника АВС, если его средние линии имеют такие размеры: OF = 5,5 см, FN = 8 см, ON = 7 см.

научная работа

1. Свойства средних линий

1. Свойства треугольника:

· при проведении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных исходному с коэффициентом 1/2.

· средняя линия параллельна основанию треугольника и равна его половине;

· средняя линия отсекает треугольник, который подобен данному, а его площадь равна одной четверти его площади.

2. Свойства четырёхугольника:

· если в выпуклом четырехугольнике средняя линия образует равные углы с диагоналями четырехугольника, то диагонали равны.

· длина средней линии четырехугольника меньше полусуммы двух других сторон или равна ей, если эти стороны параллельны, и только в этом случае.

· середины сторон произвольного четырёхугольника -- вершины параллелограмма. Его площадь равна половине площади четырехугольника, а его центр лежит на точке пересечения средних линий. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона;

· Точка пересечения средних линий четырехугольника является их общей серединой и делит пополам отрезок, соединяющий середины диагоналей. Кроме того, она является центроидом вершин четырехугольника.

3. Свойства трапеции:

· средняя линия параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме;

· середины сторон равнобедренной трапеции являются вершинами ромба.

Биномиальные коэффициенты

Числа Cnk обладают рядом замечательных свойств. Эти свойства в конечном счёте выражают различные соотношения между подмножествами данного множества X. Их можно доказывать непосредственно, исходя из формулы (1)...

Биномиальные коэффициенты

1. Сумма коэффициентов разложения (a + b)n равна 2n. Для доказательства достаточно положить a = b = 1. Тогда в правой части разложения бинома мы будем иметь сумму биномиальных коэффициентов, а слева: (1 + 1)n = 2n. 2.Коэффициенты членов...

Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием уравнения, его изучение в современной методике математики организовано в содержательно-методическую линию уравнений и неравенств...

Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел

Пусть S - коммутативная мультипликативная несократимая полугруппа с 1 и без делителей единицы. Такие полугруппы называются целыми, или коническими. Элементы и из S называются взаимно простыми, если НОД(,)=1...

Так как предметом нашего изучения будет средняя величина, скажем вначале о том, как средние определяются в литературе. Сильное определение, включающее несколько условий, состоит в следующем . Определение...

Обобщение классических средних величин

Теперь мы готовы для квази-средних указать упомянутое выше аксиоматическое определение. Будем исходить от частных случаев - простейших средних...

Основные понятия математической статистики

При расчете средней арифметической для интервального вариационного ряда сначала определяют среднюю для каждого интервала, как полусумму верхней и нижней границ, а затем - среднюю всего ряда. Средние...

Простейшие способы обработки опытных данных

Применение вышеназванных способов для описания реальных процессов. При этом нельзя сделать однозначный вывод о том, какой способ наиболее точно описывает тот или иной процесс. Например...

Распределение Пуассона. Аксиомы простейшего потока событий

Теперь рассмотрим случай, когда обе совокупности подчиняются нормальному распределению, но проверка гипотез о равенстве двух генеральных дисперсий закончилась отвержением гипотезы равенства...

Регрессионный анализ корелляции субъективного ВАШ и лабораторных признаков активности реактивного артрита

Во многих случаях практики интерес представляет вопрос о том, в какой мере существенно влияние того или иного фактора на рассматриваемый признак. В данном случае фактором является вид инфекции вызвавший реактивный артрит, а признаками СОЭ, СРБ...

Случайные вектора

Ковариация случайных величин и определяется через их совместную плотность вероятности соотношением: . (57.1) Подынтегральная функция в (57.1) неотрицательна для таких, при которых, то есть при, или, . И наоборот, при, или...

Статистические расчеты содержания влаги

Численное интегрирование разными методами

Метод прямоугольников получается при замене подынтегральной функции на константу. В качестве константы можно взять значение функции в любой точке отрезка. Наиболее часто используются значения функции в середине отрезка и на его концах...

Численные методы

1 Чтобы уменьшить погрешность методов левых и правых прямоугольников был предложен метод средних, т.е. метод в котором высота прямоугольника вычисляется в середине отрезка h (Рис. 7). Обращаясь к рисунку легко увидеть...