В прошлый раз мы научились складывать и вычитать дроби (см. урок «Сложение и вычитание дробей »). Наиболее сложным моментом в тех действиях было приведение дробей к общему знаменателю.
Теперь настала пора разобраться с умножением и делением. Хорошая новость состоит в том, что эти операции выполняются даже проще, чем сложение и вычитание. Для начала рассмотрим простейший случай, когда есть две положительные дроби без выделенной целой части.
Чтобы умножить две дроби, надо отдельно умножить их числители и знаменатели. Первое число будет числителем новой дроби, а второе - знаменателем.
Чтобы разделить две дроби, надо первую дробь умножить на «перевернутую» вторую.
Обозначение:
Из определения следует, что деление дробей сводится к умножению. Чтобы «перевернуть» дробь, достаточно поменять местами числитель и знаменатель. Поэтому весь урок мы будем рассматривать в основном умножение.
В результате умножения может возникнуть (и зачастую действительно возникает) сократимая дробь - ее, разумеется, надо сократить. Если после всех сокращений дробь оказалась неправильной, в ней следует выделить целую часть. Но чего точно не будет при умножении, так это приведения к общему знаменателю: никаких методов «крест-накрест», наибольших множителей и наименьших общих кратных.
По определению имеем:
Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробей
Если в дробях присутствует целая часть, их надо перевести в неправильные - и только затем умножать по схемам, изложенным выше.
Если в числителе дроби, в знаменателе или перед ней стоит минус, его можно вынести за пределы умножения или вообще убрать по следующим правилам:
- Плюс на минус дает минус;
- Минус на минус дает плюс.
До сих пор эти правила встречались только при сложении и вычитании отрицательных дробей, когда требовалось избавиться от целой части. Для произведения их можно обобщить, чтобы «сжигать» сразу несколько минусов:
- Вычеркиваем минусы парами до тех пор, пока они полностью не исчезнут. В крайнем случае, один минус может выжить - тот, которому не нашлось пары;
- Если минусов не осталось, операция выполнена - можно приступать к умножению. Если же последний минус не зачеркнут, поскольку ему не нашлось пары, выносим его за пределы умножения. Получится отрицательная дробь.
Задача. Найдите значение выражения:
Все дроби переводим в неправильные, а затем выносим минусы за пределы умножения. То, что осталось, умножаем по обычным правилам. Получаем:
Еще раз напомню, что минус, который стоит перед дробью с выделенной целой частью, относится именно ко всей дроби, а не только к ее целой части (это касается двух последних примеров).
Также обратите внимание на отрицательные числа: при умножении они заключаются в скобки. Это сделано для того, чтобы отделить минусы от знаков умножения и сделать всю запись более аккуратной.
Сокращение дробей «на лету»
Умножение - весьма трудоемкая операция. Числа здесь получаются довольно большие, и чтобы упростить задачу, можно попробовать сократить дробь еще до умножения . Ведь по существу, числители и знаменатели дробей - это обычные множители, и, следовательно, их можно сокращать, используя основное свойство дроби. Взгляните на примеры:
Задача. Найдите значение выражения:
По определению имеем:
Во всех примерах красным цветом отмечены числа, которые подверглись сокращению, и то, что от них осталось.
Обратите внимание: в первом случае множители сократились полностью. На их месте остались единицы, которые, вообще говоря, можно не писать. Во втором примере полного сокращения добиться не удалось, но суммарный объем вычислений все равно уменьшился.
Однако ни в коем случае не используйте этот прием при сложении и вычитании дробей! Да, иногда там встречаются похожие числа, которые так и хочется сократить. Вот, посмотрите:
Так делать нельзя!
Ошибка возникает из-за того, что при сложении в числителе дроби появляется сумма, а не произведение чисел. Следовательно, применять основное свойство дроби нельзя, поскольку в этом свойстве речь идет именно об умножении чисел.
Других оснований для сокращения дробей просто не существует, поэтому правильное решение предыдущей задачи выглядит так:
Правильное решение:
Как видите, правильный ответ оказался не таким красивым. В общем, будьте внимательны.
Класс: 6
Презентация к уроку
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цели урока:
Образовательный аспект:
- повторить и углубить знания по теме “Деление обыкновенных дробей”
Развивающий аспект:
- развивать навыки анализа, сравнения материала;
- развивать внимание, память, речь, логическое мышление, самостоятельность;
- содействовать развитию умений осуществлять самооценку учебной деятельности.
Воспитательный аспект:
- прививать обучающимся навык самостоятельности в работе, учить трудолюбию, аккуратности;
- воспитывать потребность оценивать свою деятельность и работу одноклассников;
- воспитывать культуру речи, внимание к точности формулировок.
Формы организации учебной деятельности:
- фронтальная, индивидуальная, игровая
Используемые технологии:
- технология сотрудничества;
- информационные технологии;
- игровые технологии.
Оборудование:
- компьютер;
- мультимедиапроектор;
- презентация Microsoft Office PowerPoint;
- карточки-задания
Ход урока
I. Организационный момент
II. Устный счёт
1. Вычислите значения выражений, соберите пазл.
Учитель: Ребята, Вы узнаете, что изображено на этой фотографии?
Усолье Сибирское – один из старейших городов в Приангарье, он был основан как поселение в 1669 г. благодаря покорителям сибирских просторов енисейским казакам братьям Михалёвым, обнаружившим на берегу реки Ангара соляной источник и построившим соляную варницу
2. Не выполняя действий, сравните частное с делимым:
III. Повторение ранее изученного материала
1. Представьте десятичную дробь в виде обыкновенной дроби. В таблицу впишите буквы, соответствующие найденным ответам (работа в парах).
0,4 - А 1,2 - Р 0,006 - П 3,6 - И 0,9 - З 5,008 – Т 0,05 - У 2,16 - О 0,37 - Д 4,44 - С 5,08 - К 2,15 – М
Название города Иркутск происходит от реки Иркут, впадающей в Ангару. Своё начало город ведёт с первого Иркутского острога, заложенного казаками под руководством Якова Похабова 6 июля 1661 года. К сентябрю 1670 года на месте острога была построена крепость с четырьмя башнями, названа Кремлём. Иркутск практически с самого основания был важнейшим опорным пунктом по торговле с Китаем. Через город проходили все русско-китайские торговые караваны.
2. Представите обыкновенную дробь в виде десятичной дроби. Расположите полученные числа по возрастанию и прочитайте слово (самостоятельно, с последующей проверкой).
Ответы: 0,8; 0,5; 0,25; 0,12; 0,032; 0,07, слово – Байкал (гиперссылка на единую коллекцию ЦОР).
IV. Закрепление изученного материала
1. Заполни пропуски:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
2. Игра “Лото” (обучающимся нужно решить первый пример, затем перейти к тому примеру, который начинается с числа, полученного при решении предыдущего, составить предложение).
| I вариант | II вариант | ||||
у истока |
|||||
лишайник |
покрытый |
||||
Ответы: Скала Шаманка – мрамор, покрытый красным лишайником;
Шаман-камень – скала, лежащая у истока Ангары.
V. Физкультминутка
Руки в боки, руки – шире.
Раз, два, три, четыре.
Сейчас попрыгать мы решили.
Раз, два, три, четыре.
Потянулись – выше, выше...
Приседаем – ниже, ниже.
Встали – присели...
Встали – присели...
А теперь за парты сели.
VI. Решение задачи
Решить задачу: два автомобиля выехали одновременно навстречу друг другу из городов Усолье-Сибирское и Иркутск, расстояние между которыми 80 км. Скорость первого автомобиля составляет скорости второго. Найдите скорости каждого автомобиля, если они встретились через сорок минут.
Пусть х (км/ч) - скорость второго автомобиля
Тогда х (км/ч) - скорость первого автомобиля
х+х (км/ч) - скорость сближения
Зная, что автомобили встретились через ч и проехали вместе 80 км, составим уравнение:
(х+ х ) * =80
(х+ х ) =80:
х = 120: 1
Ответ:
- 1 вариант ЖАРКИ
- 2 вариант ОМУЛЬ
VIII. Домашнее задание
Составьте задание
Технологическая карта урока.
ФИО учителя: Степанова Дарья Сергеевна
Место работы: МАОУ «СОШ №76»
Должность: учитель математики
Предмет: математика
Тема урока: «Деление обыкновенных дробей».
Тип урока : урок открытия нового знания .
ЦЕЛЬ УРОКА:
Образовательные: сформировать представление о делении обыкновенных дробей, выработать первичное умение выполнять деление чисел, записанных в виде дробей.
Развивающие: развитие математического мышления учащихся и вычислительных навыков.
Воспитательные: содействовать воспитанию интереса к математике, воспитывать культуру математических записей.
Оборудование : Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений/ Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд.- издание.- М.: Мнемозина, 2007, мультимедийный проектор, презентация к уроку по данной теме., раздаточный материал.
План:
Организационный момент (1 мин.).
Целеполагание и мотивация (7 мин.).
Открытия нового знания (13 мин.).
Физкультминутка (1мин.).
Закрепление нового (15 мин.).
Подведение итогов. Рефлексия (3 мин.).
Домашнее задание (1 мин).
–Здравствуйте! Давайте проверим все ли у нас готово к уроку?
Проверяют. Достают тетради и ручки, если не достали.
–Вспомним, с каким новым понятием мы познакомились на предыдущих уроках?
–Какие числа называют взаимно обратными?
–Хорошо! Молодцы! А теперь давайте устно решим примеры на слайде.
–Из 1 вычесть мы получим?
– Что мы должны сделать, чтобы решить второй пример?
–Чему он равен?
– Тогда дополнительный множитель, для первой дроби равен?
–Молдец! Чему равен НОЗ в третьем примере?
– Как вычислим следующий пример? Как мы умножаем дробь на дробь?
–Что можно сделатьперед тем как перемножать?
–Верно, Молодец! Как умножить натуральное число на дробь?
– Что будем делать, перед тем как перемножать?
–Молодец! Как решить следующий пример?
–Верно, что получим?
Хорошо! Следующий пример.
–Молодец! Что нужно сделать, чтоб перемножить следющие два числа?
–Как будем решать следующий приер?
–С понятием взаимно обратных чисел
– Числа называют взаимно обратным, если в произведении они дают единицу.
(один ученик вслух разбирает один пример).
–Найти наименьший общий знаменатель.
–14, так как 14 делиться на 7 нацело.
–Двум. Домножим дробь на два, получим 
. Прибавим к дробь 
, получим ответ 
.
–Так как 7 и 5 взаимно простые числа, наименьший общий знаменатель равен 35.
Для первой дроби дополнительный множитель равен 5, для второй дроби 7. Домножим первую дробь на 5, получим 
, вторую дробь на 7, получим 
. Разность равна 
.
–Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить числители дробей и записать это произведение в числитель, перемножить знаменатели и записать произведение в знаменатель.
–Можно сократить 4 и 8 на 4, и 3 и 9 на 3, получим одну шестую
– Чтобы умножить натуральное число на обыкновенную дробь, нужно числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.
–Сократим 23 и 23. Ответ 9.
– Сначала надо записать смешанное число в неправильную дробь, а потом перемножить.
–Получим дробь , перемножим ее с . Можем сократить 7 и 7. Ответ .
–Сократить ничего нельзя. Перемножаем 4 и 5,в числител запишем 20, в знаменателе 7 или 
.
– Нужно представить смешанные числа в виде неправильной дроби. Получим и 
. Можем сократить 5 и 15 на 3 и 22 и 2 на 2. В числителе получим 11 взнаменателе 3 или 
.
– Мы не знаем как делить.
–Как вы думаете, какая тема нашего урока на сегодня?
–Врно! Откройте тетради запишите число и тему урока.
–Какую цель мы поставим на сегоднящний урок?
–А для того, чтобы научиться делить, что нам сначала надо узнать?
–Верно! Для этого, вначале, рассмотрим задачу. Площадь прямоугольника равна 
. Длина одной стороны
. Найти длину другой стороны.
– Назовите формулу площади прямугольника.
– Ширина и площадь нам известны, а длина – нет. Как мы обозначаеим неизвестную величину?
– Можем мы с вами теперь составить уравнение?
–Мы с вами уже решали такие уравнения с помощью взаимно обратных чисел. Давайте решим его.
– Что получим в правой части уравнения?
–Что получим в левой части уравнения?
– Хорошо. Нашли чему равна длинна. Давайте вернемся к уравнению, и вспомним, как наити нейзвестный множитель?
–Верно! Примените это к нашему уравнению, что получим?
–Но мы уже знаем чему равен x .
– И как мы его нашли?
– А по отношению к какая дробь?
– То есть мы можем составить такое равенство: 
.
– Исходя из этого равенства попробуйте сформулировать правило деления обыкновенных дробей.В этом вам поможет карточка №1, заполните пропуски в ней.
–Верно, молодцы! Запишите в тетрадь данное определение в буквенном виде, самостоятельно. Проверьте.
–Можем ли мы теперь решить тот пример, который в начале вызвал у нас затруднение(возрашаемся к примеру)?
– Деление обыкновенных дробей.
(Открывают тетради, записывают тему урока).
–Научиться выполнять деление дробей.
–Правило деления дробей.
– S = ab .
– x .
–Да. 
.
– Нужно домножить обе части уравнение на обратное число, числу . То есть на .
–В правой части произведение двух взаимно обратных чисел дадут нам единицу.
–В левой части, произведение и . Сократить ничего нельзя, значит получим 
. 
.
Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.
– 
.
–. Мы умножили на .
–Обратная.
–Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на число обратную делителю.
– Да, 
.
–А теперь разомнемся немного. Сожмите разожмите кулочки. Расправте плечики. Делайте движения головой, следуя за снежинкой.
–Верно! Учиться применять правило на практике.
(На слайде примеры. Вызываем учеников по одному к доске, остальные работают в тетрадях.)
–Молодцы! У вас на партах есть карточка №2. Выполните ее самостоятельно. Задание: Вставьте пропуски в примерах, чтобы получились верные равенства.
–Проверьте себя сами! Если все пропуски заполнены верно или одна ошибка – оценка «5», если 2-4 ошибки – оценка «4», если 5-7 ошибок –оценка «3».
–Решать примеры.
(выполняют карточки с заданиями №2)
(проверяют, оценивают себя)
–Давайте подведем итоги! Как вы считаете, добились ли мы поставленной в начале урока цели?
–Давайте повторим правило, которое мы сегодня узнали. (спрашиваем нескольких учеников).
–Хорошо! Молодцы! У вас на столах лежат разного цвета карточки, оцените с помощью их результат вашей работы сегодня на уроке.
– Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на число обратную делителю.
(поднимают карточки).
–Откройте дневники и запишите домашнее задание.
–Спасибо за урок!
(Записывают домашнее задание в дневники).
Раздаточный материал.
Каточка №1
Правило деления обыкновенных дробей.
Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое ___________ на число, ____________ делител ю.
Карточка №2
Умножение десятичных дробей
Десятичная форма записи позволяет выполнять умножение дробей практически по тем же правилам, по которым умножают натуральные числа. Отличие заключается в том, что необходимо определять место запятой в полученном произведении.
Поясним сказанное на примере; вычислим произведение 2,5 1,02.
Перенесем запятую в первом множителе на одну цифру вправо, а во втором-на две цифры вправо. Тем самым первый множитель увеличится в 10 раз, второй-в 10 2 = 100 раз, а произведение-в 10 100 = 1000 раз.
Определим произведение натуральных чисел 25 и 102:
25 102 = 2550.
Это число в 1000 раз больше, чем требуемое произведение. Поэтому необходимо число 2550 уменьшить в 1000= 10 3 раз, т. е. перенести в этом числе запятую влево на 3 цифры. Таким образом,
2,5 1,02 = 2,550 = 2,55.
Можно рассуждать по-другому:
Таким образом, чтобы перемножить две десятичные дроби9 достаточно, не обращая внимания на запятые, перемножить их как натуральные числа9 а затем в полученном произведении справа отделить запятой столько цифр, сколько их было после запятых в обоих множителях вместе.
Например,
Деление десятичных дробей
Рассмотрим пример деления десятичной дроби на натуральное число.
Пример . Вычислить 46,8: 2.
Решение . 4 десятка делим на 2-получаем цифру частного 2 (2 десятка).
6 единиц делим на 2 - получаем цифру частного 3 (3 единицы).
Деление целой части закончено-отделяем в частном целую часть запятой.
8 десятых делим на 2 - получаем цифру частного 4 (4 десятых). Остаток равен 0-деление закончено.
Деление десятичной дроби на десятичную дробь сводится к делению на натуральное число переносом запятых в делимом и делителе на столько цифр вправо, чтобы делитель стал натуральным числом.
Пример . Вычислить 4,42:0,2.
Решение . Так как в делителе одна цифра после запятой, то достаточно перенести запятые в делимом и делителе на 1 цифру вправо. Тем самым делимое и делитель увеличиваются в 10 раз, поэтому частное не изменится. При этом делитель будет натуральным числом.
Можно рассуждать и таким образом:
Но не всегда получается точный результат при делении десятичных дробей. Чаще приходится довольствоваться приближенным частным.
Пример . Найти частное 1,723:0,03.
Решение . Освободимся от запятой в делителе: 1,723:0,03= 172,3:3. Выполним деление.
Начиная с разряда сотых, цифра 3 в частном повторяется без конца, потому что остаток, начиная с третьего этапа процесса деления, все время равен одному и тому же числу 1.
Если оставить у частного первые две цифры после запятой, то получится приближенное равенство: 172,3:3 ≈ 57,43.
